3D프로그램 렌더링, 테셀레이션이란?

테셀레이션은 무엇인가?

도형들이 겹치지 않으면서 빈틈없게 공간을 채우는 것을 말하는 데 보통 타일이라는 도형으로 합니다. 이러한 것을 쪽매맞춤, 타일링이라고도 하며 이러한 과정에서 도형을 밀거나 뒤집고 돌리는 등의 위치를 조정할 수 있습니다. 테셀레이션에는 주기적인 경우와 비주기적인 경우가 있는데 비주기적인 경우 기본 단위를 반복할 수 없는 타일들을 사용합니다. 주기적인 경우에는 반복되는 기본 단위가 있으며 그중 하나는 두 개 이상의 정다각형으로 채웠지만 각 꼭짓점에 모인 배치가 같은 준 정규라는 테셀레이션이 있으며 한 가지 정다각형으로 채운 경우는 정규 테셀레이션으로 불립니다. 준 정규 테셀레이션은 특수한 경우로 볼 수 있고 주기적인 테셀레이션의 경우 패턴을 17개의 벽지 군으로 분류할 수 있습니다. 

공간 테셀레이션

공간 테셀레이션은 3차 이상의 더 높은 차원에서 테셀레이션을 정의한 것을 말하는데, 공간 채운 도형이나, 벌집이라고도 할 수 있습니다. 이 공간 테셀레이션은 기하학에서는 다면체 또는 고차원 세포로 빈틈없는 공간 채우기 또는 밀집 채우기며, 수학적 테셀레이션, 타일링 또는 테셀레이션의 모든 차원으로 확장한 것의 예시가 됩니다.

보통 테셀레이션은 세라믹을 붙이는 방법으로도 만들 수 있으며 무늬가 있는 장식으로 쓰이거나 벽이나 길, 천장에 쓰이는 데 이는 내구성이 좋고 방수가 되도록 타일로 덮을 수 있기 때문입니다. 장식적인 효과를 내려고 퀼트에서 쓰이기도 하고 벌집과 같은 자연에서도 볼 수 있으며 고대 로마와 이슬람 예술에서 쓰였는데 그 예시로는 모로코 건축이나 알람브라 궁전을 보면 알 수 있습니다. 그 밖에도 20세기에 유클리드 평면과 쌍 곡 평면에서 자주 사용한 것으로 유명합니다.

평면 테셀레이션

평면 테셀레이션이라고 하는 것은 2차원 테셀레이션 기하학에서 타일을 빈틈없이 규칙에 맞게 평면을 채울 수 있는 배치 방법을 연구하는 주제를 얘기하는 데 여기서는 규칙이 다양합니다. 타일 사이에 빈틈이 없으며 한 타일의 꼭짓점이 다른 타일의 모서리와 닿아있지 않아야 한다는 규칙이 일반적입니다. 규칙을 만족시키는 정규 테셀레이션은 같은 모양의 정다각형, 모서리, 꼭짓점이 모든 타일에 맞닿은 변을 사이에 두고 같은 각도를 이루고 있다는 것이 다 이러한 모양을 만들 수 있는 것은 정육각형, 정삼각형, 정사각형밖에 없습니다. 이러한 세 가지 모양으로 평면을 무한히 빈틈없이 채울 수 있습니다.

 

여러 종류의 테셀레이션

위의 방법 외에도 다른 조건에서도 여러 종류의 테셀레이션이 가능한데 8종류의 준 정규 테셀레이션을 이용하는 방법 있습니다. 2가지 이상의 정다각형으로 만들어져 있지만 각 꼭짓점에 있는 다각형의 배치가 같다는 것입니다. 이 밖에도 정규가 아닌 테셀레이션은 오각형 폴리오미노 등 매우 다양한 모양으로도 가능합니다. 여기서 폴리오미노란 하버드 대학교의 솔로몬 골 롬 박사가 수학 강의 중에서 처음 사용한 n개의 정사각형이 최소한 1개의 변이 고유하여 만들어지는 다각형을 총칭하는데 n이 몇인가에 따라 부르는 이름이 달라진다는 특징이 있습니다. 타일의 모양에 따라 대비되는 색상을 사용하면 아름다운 무늬가 만들어지는데, 성당 바닥 등 표면을 장식할 때 쓰일 수 있으며 형식적으로 테셀레이션은 유한한 수의 닫힌집합인 타일로 유클리드 평면을 덮습니다. 유클리드 공간에서 평면은 곡면의 일종이라고 볼 수 있는데, 그 위에 있는 어느 두 점을 택하여도 그 두 점을 지나는 직선 전체를 항상 포함하는 것으로 정의할 수 있으며, 평면은 직교 좌표를 도입하여 임의의 점을 두 실수의 순서 싸므로 유일하게 나타낼 수 있습니다. 이 순서쌍을 그 점의 좌표라고 합니다.

 

많은 테셀레이션은 유한한 개수의 프로토 타일로 만들어지고 이때 테셀레이션의 임의의 타일은 주어진 프로토 타일 집합에 있는 모양 중 하나와 항상 합동이어야 합니다. 여기서 말하는 프로토 타일이란 닫힌 모양으로 평면 등의 공간을 채우는 것을 말하는데, 이때 타일은 내부가 서로소 집합이어야 하고 겹치지 않아야 합니다. 테셀레이션에서 다양한 프로토 타일 집합 중에서 선택해서 쓸 수 있고 프로토 타일 중 어느 하나를 평행, 회전, 대칭 이동시키면 프로토 타일 집합이 달라질 수 있기 때문입니다. 테셀레이션의 임의의 타일은 주어진 프로토 타일 집합에 있는 모양 중 하나와 항상 합동으로 해야 하며 어떤 기하학적인 모양이 테셀레이션에서 프로토 타일로 쓰일 수 있을 때, 이 모양이 테셀레이션 한다는 또는 평면을 타일링한다고 합니다. 어떤 모양이 주어졌을 때 이것이 평면을 테셀레이션 할 수 있는지 판별하는 일반적인 규칙은 아직 발견되지 않았는데 결국 테셀레이션에 관해서 미해결 문제가 많다는 의미입니다. 콘웨이 판정법은 주어진 모양의 타일이 주기적으로 대칭을 사용하지 않고 테셀레이션 할 수 있는지 판정하기 위한 충분한 조건이 아닌 필요조건을 말하며 이 판정법에 맞지 않는 타일이 평면을 테셀레이션 할 수 있습니다. 추가로 수학적인 부분에서의 테셀레이션에 대해 소개를 하면 각 꼭짓점에서 다각형의 배치가 같은 것을 말하며 직사각형처럼 반복되어 테셀레이션을 만드는 모양을 말하는데 정사각형으로 평면을 채운 정규 테셀레이션의 경우 각 꼭짓점에 4개의 정사각형이 모인 것입니다. 일반적인 테셀레이션은 각 타일이 원판과 위상수학적으로 동일한 테셀레이션을 말하는데 임의의 두 타일이 만나는 겹치는 구간은 연결 공간이거나 공집합이며, 모든 타일이 균등 유계함수입니다. 즉 테셀레이션 전체의 타일에 대해 내접원과 외접원 반지름 각각이 적용되며, 비정상적으로 길거나 얇은 타일은 조건에 맞지 않는다고 볼 수 있습니다.